Cálculo Vectorial – Claudio Pita Ruiz Este es un libro de cálculo diferencial y también integral de funciones cuyo dominio y/o codominio son subconjuníos del espacio Rn. Como a los elementos de este espacio se les llama “vectores”, un nombre popular para este género de temas en el cálculo es el de “cálculo vectorial”. De otra manera todavía, este libro trata sobre el cálculo en (espacios de) dimensiones superiores. El único requisito previo formal para estudiar el material que acá se presenta, es haber tomado un curso de cálculo diferencial y también integral de funciones reales de una variable real (como el que se estudia en un primer semestre de cálculo), así como ciertos resultados elementales sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices (que se estudian por norma general en un curso de álgebra superior o bien en los primeros episodios de un curso de álgebra lineal). : Capítulo 1. Introducción al espacio R (potencia n) y al álgebra lineal1.1. El espacio R (potencia n)1.2. Producto punto. Proyecciones1.3. Regla y distancia1.4. Bases ortonormales. Cambios de base1.5. El producto cruz en R (potencia tres)Apéndice. Coordenadas cilíndricas y esféricas1.6. Rectas y planos en R (potencia tres)1.7. Transformaciones lineales1.8. Valores y vectores propios diecinueve Formas cuadráticas Capítulo dos. Funciones de múltiples variables2.1. Funciones de múltiples variables2.2. Geometría de las funciones de múltiples variables2.3. Límites y continuidad2.4. Derivadas parciales2.5. Derivadas direccionales Apéndice. El teorema del valor medio2.6. Diferenciabilidad2.7. Diferenciabilidad y derivadas direccionales Apéndice. El Teorema de Euler sobre funciones homogéneas2.8. Gradiente2.9. Vectores normales2.10. Planos tangentes2.11. La diferencial2.12. Derivadas parciales de órdenes superioresApéndice 1. Funciones de clase ()Apéndice dos. El Teorema de Euler sobre funciones homogéneas (versión general para funciones de 2 variables) Capítulo tres. Funciones compuestas, inversas y también implícitas3.1. Composición de funciones3.2. Regla de la cadena3.3. Regla de la cadena. Perspectiva general3.4. Funciones tácitas (I)3.5. Funciones tácitas (II)3.6. Funciones inversas3.7. Un interludio numérico: el procedimiento de Newton para sistemas no lineales Capítulo cuatro. Extremos de las funciones de múltiples variables4.1. Definición y ejemplos preliminares4.2. La fórmula de Taylor de segundo orden4.3. Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales4.4. Caso de 2 variables. Ejemplos Apéndice. El procedimiento de mínimos cuadrados4.5. Extremos condicionados Apéndice Extremos absolutos de funciones en zonas compactas4.6. Extremos condicionados (II): condiciones suficientes Capítulo cinco. Curvas en el espacio5.1. Introducción. Límites y continuidad5.2. Caminos en R (potencia n). Consideraciones y ejemplos preliminares cinco.3 Diferenciabilidad. Curvas regulares5.4. Reparametrizaciones cinco.5 Longitud de un camino cinco.6 Reparametrizaciones por longitud de arco cinco.7 Curvatura5.8. Curvas paralelas5.9. Plano osculador, normal y rectificante5.10. Torsión cinco.11 Aplicaciones a la activa Capítulo seis. Integrales múltiples6.1. Integrales dobles (I): funciones escalonadas6.2. Integrales dobles (II): funciones integrables sobre rectángulos Apéndice. Integrabilidad de funciones intermitentes en conjuntos de medida cero6.3. Integrales dobles de funciones sobre zonas más generales6.4. Cambio de variables en integrales dobles6.5. Aplicaciones de las integrales dobles6.5.1. Volúmenes de cuerpos en el espacio6.5.2. Áreas de figuras planas6.5.3. Centros de masa y instantes de figuras planas6.5.4. Valor medio de una función6.6. Integrales triples6.7. Cambio de variables en integrales triples6.7.1. Coordenadas cilíndricas seis.7.2 Coordenadas esféricas6.8. Aplicaciones de las integrales triples6.8.1. Volúmenes de cuerpos en el espacio6.8.2. Centros de masa y instantes de cuerpos en el espacio6.8.3. Valor medio de una función seis.9 Integrales Nmúltiples Capítulo siete. Integrales de línea7.1. Curvas en el espacio: resumen de hechos importantes7.2. Campos vectoriales Apéndice. Campos vectoriales en los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas7.3. Integrales de línea: definición y propiedades7.4. Independencia del camino, campos conservativos y funciones potenciales7.5. Un interludio topológico: conexidad7.5.1. Conjuntos conexos7.5.2. Conjuntos conexos por caminos7.5.3. Conjuntos sencillamente conexos, homotopía7.6. Ecuaciones diferenciales exactas7.7. Integrales de línea respecto a la longitud de arco7.7.1. Definición y propiedades7.7.2. Aplicaciones7.8. La perspectiva de la física7.9. El teorema de Green Apéndice (I). Una demostración del teorema de cambio de variables en integrales dobles Apéndice (II). La desigualdad isoperimétrica7.10. Rotación de un campo en R (potencia dos)7.11. La divergencia de un campo vectorial (I): campos en R (cuadrado) Apéndice. La divergencia en los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas Capítulo ocho. Superficies en R (potencia tres)8.1. Superficies simples8.2. Reparametrizaciones8.3. Espacios tangentes, planos tangentes y vectores normales8.4. Superficies más generales8.5. Orientación de superficies8.6. Área de una superficie8.7. Tubos8.7.1. Cilindros en R (cuadrado)8.7.2. Cilindros en R (potencia tres) Capítulo nueve. Integrales de superficie9.1. Integrales de superficie de funciones reales9.1.1. Aplicaciones (I). Valor medio de una función definida en una superficie9.1.2. Aplicaciones (II). Centros de masa y instantes de superficies9.2. Integrales del superficie de campos vectoriales9.3. La divergencia de un campo vectorial (II): campos en R (potencia tres)9.4. El rotacional de un campo vectorial Apéndice. El rotacional en los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas9.5. El teorema de Stokes9.6. Grad, Div, Rot: Las fórmulas tradicionales del análisis vectorial Capítulo Capítulo diez. Formas diferenciales10.1. Definiciones preliminares. Suma y producto de formas10.2. La diferencial exterior10.3. Cambio de variables en formas10.4. Integración de pformas sobre pcubos10.5. Integración de pformas sobre pcadenas10.6. El teorema (general) de Stokes Contestaciones a los ejercicios Bibliografía Índice metódico