Introducción al estudio de los fractales – Neptalí Romero V Talleres de capacitación matemática Maracaibo, veintiseis al treinta y uno de julio de dos mil cuatro La geometría fractal es una joven disciplina cuyo objeto de estudio puede enunciarse, de una forma un tanto más formal, como el estudio de las propiedades topológicas y geométricas de conjuntos y medidas autosimilares en Rn. Acá “autosimilar” se utiliza en el sentido un tanto haragán que ha popularizado por los trabajos de Mandelbrot, como un conjunto que es igual a sí mismo en todas y cada una de las escalas, o sea, un conjunto que, tras un reescalamiento apropiado de una vecindad pequeña de sus puntos “luce” igual a sí mismo. La disciplina se ha popularizado mediante la difusión de imágenes y programas de computadoras que nos presentan un planeta de figuras sorprendentes que habitualmente se acercan al arte y a la ciencia ficción. Una busca en Internet muestra un exuberante campo donde confluyen los intereses de estudiosos en ciencias aplicadas, matemáticos, artistas, autores de efectos singulares para el cine y hasta publicistas. Esta explosión de interés está vinculada a la propagación de los computadores personales y las nuevas tecnologías de la información, con un perceptible impacto en la imaginería de la sociedad de consumo moderna. Mas no todo es moda y publicidad. Desde el punto de vista científico hay un auténtico interés por caracterizar estructuras tanto físicas como de datos que precisan ser tratadas con métodos de teoría de la medida para introducir cuantidades calculables experimentalmente que caracterizan la organización espacial de conjuntos de puntos en el espacio con apariencia embrollada y desordenada. Las ideas de la geometría fractal se han aplicado al estudio de las configuraciones espaciales “poblaciones” de “puntos” distribuidos en un volumen semejantes como: población humana sobre un territorio, continente e inclusive sobre la Tierra misma; observaciones meteorológicas en estaciones distribuidas de forma dispar sobre el planeta; distribución de disipación de energía en un fluido turbulento, que fue el objeto inicial de estudio que llevo a Mandelbrot a plantear el estudio de fractales como una parte esencial de nuestra entendimiento actual de la naturaleza; distribución de fallos en una línea de transmisión; distribución de impurezas en la superficie y núcleo de materiales conductores, superconductores y aislantes en la física del estado sólido; distribución de minerales extraños sobre la superficie de la tierra como oro, cobre y petróleo series temporales de datos como costes de mercaderías y valores financieros en conomía, tráfico vehicular en grandes urbes, etcétera En todo este caso hay una escala global relevante confrontada con estructuras locales riquísimas y variables. Al plantear su visión de la geometría fractal como la geometría de la naturaleza, Mandelbrot busca en la Matemática modelos geométricos simples de conjuntos semejantes como: el conjunto de Cantor ternario, el tapiz de Sierpinski, la curva de Koch y la esponja de Sierpinski . El desarrollo del PC con sus enormes potencialidades gráficas atrajo nuevamente la atención de matemáticos y científicos sobre unos conjuntos cuyo estudio se remonta a los orígenes de la topología, la teoría de la medida y las investigaciones de principios del siglo veinte sobre la teoría de funciones de variable compleja, debidas a Fantasioso y Julia. Desde el punto de vista técnico la geometría fractal no es una disciplina axiomática y autónoma como la geometría de Euclides. Ella se halla en algún sitio en la intersección de la topología, la teoría de la medida y se ramifica de forma rápida cara la teoría de sistemas activos y sus aplicaciones. En nuestros días hay abundantes libros que tratan sobre el tema desde la perspectiva de sus fundamentos matemáticos y de las aplicaciones. Aconsejamos singularmente los libros de Falcones y Edgar. Asimismo la obra “Fractals”, del físico noruego Jens Feder, que ofrece una panorámica de las aplicaciones físicas, en especial aquellas motivadas por la investigación de yacimientos petroleros (percolación, etcétera). El objeto de esta monografía que ofrecemos como una parte del TForMa es más puntual y de carácter puramente matemático. Aprovechamos la ocasión de la motivación y también interés de los estudiantes sobre el tema para introducir al estudio estricto de los aspectos topológicos y métricos de los conjuntos autosimilares. Esto nos llevó a comprobar ciertos resultados de topología y medida, para ofrecer demostraciones estrictas de ciertas propiedades de fractales tradicionales como los conjuntos de Cantor, el tapiz de Sierpinski y la curva de Koch. Demostraciones que desde entonces no tienen espacio en la enorme mayoría deweb y literatura de divulgación sobre este tema, mas cuyo estudio luce instructivo y preciso para la capacitación de los estudiantes de las carreras de matemáticas